Solutions
I.2.35. On observe que
1 + c 1 + c 2 + . . . + c n = (1 + 1)
n
= 2
n
et on applique l’inégalité de Cauchy (voir I.2.12) en prenant a k = 1 et
b k =
√ c k pour k = 1, 2, . . . , n.
I.2.36. Puisque
n
k=0
n
k
=
n−1
k=1
n
k
et 2
n
− 2 =
n−1
k=1
n
k
,
la proposition découle directement de l’inégalité entre moyennes arithmétique
et géométrique (problème I.2.3).
I.2.37. On obtient, d’après l’inégalité entre moyennes arithmétique et géométrique (voir I.2.3),
A
p−1
k A k−1
(p − 1)A
p
k + A
p
k−1
p
(k = 1, 2, . . . , n)
en posant A 0 = 0. Il s’ensuit que
A
p
k −
p
p − 1
A
p−1
k a k = A
p
k −
p
p − 1
A
p−1
k (kA k − (k − 1)A k−1 )
= A
p
k
1 −
kp
p − 1
+ A
p−1
k A k−1
(k − 1)p
p − 1
A
p
k
1 −
kp
p − 1
+
k − 1
p − 1
(p − 1)A
p
k + A
p
k−1
=
1
p − 1
(k − 1)A
p
k−1 − kA
p
k
.
On obtient notre proposition en additionnant ces inégalités.
I.2.38. On suppose que a i = max {a 1 , a 2 , . . . , a n }. On a alors
n−1
k=1
a k a k+1 =
i−1
k=1
a k a k+1 +
n−1
k=i
a k a k+1
a i
i−1
k=1
a k + a i
n−1
k=i
a k+1
= a i (a − a i ) =
a 2
4
−
a
2
− a i
2
a 2
4
.
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