Chapitre I. Nombres réels
I.2.39. On peut appliquer le résultat de I.2.2.
I.2.40. L’inégalité de gauche se déduit de I.2.1.
(a) On observe que
1 + a k =
1 − a 2
k
1 − a k
<
1
1 − a k
.
Donc,
n
k=1
(1 + a k ) <
n
k=1
(1 − a k )
−1
.
Puisque a 1 + a 2 + . . . + a n < 1, en appliquant à nouveau le résultat de
I.2.1, on obtient
n
k=1
(1 + a k ) <
1 −
n
k=1
a k
−1
.
(b) On utilise le même raisonnement qu’en (a).
I.2.41. On applique l’inégalité donnée en I.2.15 (b) en remplaçant les a k
par 1 − a k .
I.2.42. Puisque 0 < a k 1 pour k = 1, 2, . . . , n, l’inégalité
n
k=1
a k
n
k=1
a k ×
n
k=1
1
a k
(1)
est vérifiée pour n 2. On applique maintenant l’inégalité donnée
en I.2.15 (b) en remplaçant a k par
a k
1+a k
(k = 1, 2, . . . , n) pour obtenir
n
k=1
1
a k
n −
n
k=1
1
1 + a k
n
n
k=1
1
1 + a k
.
En multipliant chaque membre de cette inégalité par
n
k=1
a k et en utilisant (1),
on obtient le résultat demandé.
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