Chapitre I. Nombres réels
(e) L’inégalité est claire pour a = b. On suppose maintenant que 0 < b < a.
On a alors
a − b
2
√
a
=
√ a −
√
b
√ a +
√
b
2
√
a
<
√
a −
√
b <
a − b
2
√
b
et
(a − b) 2
4a
<
√
a −
√
b
2 = a + b − 2
√
ab <
(a − b) 2
4b
.
I.2.30. On pose m =
a i
b i
. On a alors
m(b 1 + . . . + b n ) =
a i
b i
(b 1 + b 2 + . . . + b n ) =
a i
b i
b 1 +
a i
b i
b 2 + . . . +
a i
b i
b n
a 1
b 1
b 1 +
a 2
b 2
b 2 + . . . +
a n
b n
b n = a 1 + . . . + a n
M (b 1 + . . . + b n ).
I.2.31. Les inégalités se déduisent du résultat du problème précédent et de
la monotonie de la fonction tangente sur l’intervalle
0 ,
π
2
.
I.2.32. On applique l’inégalité donnée en I.2.30 en prenant a i = ln c i et
b i = k i (i = 1, 2, . . . , n).
I.2.33. On note que
a 1
b 1
M,
a 2
2
Mb 2
2
M, . . . ,
a n
n
M n−1 b n
n
M
et on utilise l’inégalité prouvée en I.2.30.
I.2.34. D’après l’inégalité entre moyennes arithmétique et harmonique
(voir I.2.3), on a
1
1
x−a 1
+
1
x−a 2
+ . . . +
1
x−an
(x − a 1 ) + (x − a 2 ) + . . . + (x − a n )
n
=
nx − (a 1 + a 2 + . . . + a n )
n
.
Le résultat demandé s’ensuit facilement.
34