Solutions
D’où,
n
k=1
a k
2
=
(a 1 + a 2 ) +
n
k=3
a k
2
(n − 1)
(a 1 + a 2 )
2
+
n
k=3
a
2
k
= (n − 1)
n
k=1
a
2
k + 2a 1 a 2
.
I.2.23.
(a) D’après l’inégalité de Cauchy, on a
n
k=1
(a k + b k )
2
1
2
=
n
k=1
a
2
k + 2a k b k + b
2
k
1
2
⎛
⎝
n
k=1
a
2
k + 2
n
k=1
a
2
k
1
2
n
k=1
b
2
k
1
2
+
n
k=1
b
2
k
⎞
⎠
1
2
=
n
k=1
a
2
k
1
2
+
n
k=1
b
2
k
1
2
.
(b) D’après (a),
n
k=1
a
2
k
1
2
−
n
k=1
b
2
k
1
2
n
k=1
(a k − b k )
2
1
2
.
Ceci et l’inégalité établie en I.2.17 donnent
n
k=1
a
2
k
1
2
−
n
k=1
b
2
k
1
2
n
k=1
|a k − b k | .
De même,
n
k=1
b
2
k
1
2
−
n
k=1
a
2
k
1
2
n
k=1
|a k − b k |
et le résultat demandé est prouvé.
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