Chapitre I. Nombres réels
I.2.24. Puisque
n
k=1
p k a k = 1, on a 1 =
n
k=1
p k a k =
n
k=1
(p k − α)a k + α
n
k=1
a k
pour tout réel α. D’où, d’après l’inégalité de Cauchy,
1
n
k=1
(p k − α)
2
+ α
2
⎛
⎝
n
k=1
a
2
k +
n
k=1
a k
2
⎞
⎠ .
Donc,
n
k=1
a
2
k +
n
k=1
a k
2
n
k=1
(p k − α)
2
+ α
2
−1
.
On obtient la borne inférieure en prenant α =
1
n+1
n
k=1
p k . On a alors
n
k=1
a
2
k +
n
k=1
a k
2
n + 1
(n + 1)
n
k=1
p 2
k −
n
k=1
p k
2 ,
l’égalité étant atteinte pour
a k =
(n + 1)p k −
n
k=1
p k
(n + 1)
n
k=1
p 2
k −
n
k=1
p k
2 .
I.2.25. On procède par récurrence. Pour n = 1, on a l’égalité a 1 b 1 = a 1 b 1 .
De plus, si l’inégalité est vérifiée au rang n, alors
n+1
k=1
a k
n+1
k=1
b k − (n + 1)
n+1
k=1
a k b k
a n+1
n
k=1
b k + b n+1
n
k=1
a k − na n+1 b n+1 −
n
k=1
a k b k
=
n
k=1
(b n+1 − b k )(a k − a n+1 ) 0.
I.2.26. On procède par récurrence sur p. Pour p = 1, l’égalité a
p
1 = a
p
1 est
vérifiée. Supposons que l’inégalité est vérifiée au rang p et démontrons-la au
rang p + 1. On peut évidemment supposer, sans perte de généralité, que les
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