Chapitre I. Nombres réels
(b) De même,
n
k=1
a k
k
2
=
n
k=1
k
3
2 a k
k
5
2
2
n
k=1
k
3 a
2
k
n
k=1
1
k 5 .
I.2.19. L’inégalité de Cauchy donne
n
k=1
a
p
k
2
=
n
k=1
a
p+q
2
k a
p−q
2
k
2
n
k=1
a
p+q
k
n
k=1
a
p−q
k .
I.2.20. D’après l’inégalité de Cauchy, on a
n
k=1
a
2
k × n =
n
k=1
a
2
k
n
k=1
1
n
k=1
a k
2
= 1.
Donc,
n
k=1
a 2
k
1
n avec égalité si seulement si a k =
1
n pour tout k. Le minimum
cherché est donc égal à
1
n .
I.2.21. De la même façon que dans la solution du problème précédent, on
obtient
1 =
n
k=1
a k
2
=
n
k=1
√ p k a k
1
√
p k
2
n
k=1
p k a
2
k
n
k=1
1
p k
.
Donc,
n
k=1
p k a
2
k
1
n
k=1
1
p k
avec égalité pour a k =
1
p k
n
k=1
1
p k
−1
. Le minimum cherché est donc égal à
n
k=1
1
p k
−1
.
I.2.22. On déduit de la solution du problème I.2.20 que
n
k=1
a k
2
n
n
k=1
a
2
k .
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