Solutions
Ceci implique
1 +
1
2
+
1
3
+ . . . +
1
n
< n
1 −
1
n
√
n + 1
+
1
n + 1
.
I.2.6. On obtient, par l’inégalité G n A n ,
x
n
=
2n+1
1 × x × . . . × x 2n
1 + . . . + x 2n
2n + 1
.
I.2.7. La seconde inégalité est une conséquence immédiate de l’inégalité
G n A n . On peut prouver l’autre inégalité par récurrence. L’inégalité est
vérifiée pour n = 1. On montre qu’elle est vérifiée à l’ordre n + 1 si elle l’est
à l’ordre n. Pour cela, on montre que (a 1 a n+1 ) n+1 (a 1 · · · a n a n+1 ) 2 dès que
(a 1 a n ) n (a 1 · · · a n ) 2 . On a
(a 1 a n+1 )
n+1
a 1 · a n (a 1 · · · a n )
2
·
a n+1
a n
n+1
.
Il suffit donc de prouver que
a 1
a
n+1
n+1
a n
n
a
2
n+1 .
On peut réécrire cette inégalité sous la forme
a 1
1 +
d
a 1 + (n − 1)d
n−1
a 1 + (n − 1)d,
où a n = a 1 + (n − 1)d, ce qui se démontre facilement par récurrence.
I.2.8. Il s’agit d’une conséquence immédiate du problème précédent.
I.2.9. On peut appliquer l’inégalité entre les moyennes arithmétique et harmonique.
I.2.10.
(a) Par l’inégalité entre moyenne arithmétique et harmonique, on a
n
n
k=1
1
a k
−1
1
n
n
k=1
a k
et, en conséquence,
n
k=1
1
a k
n 2
s
.
27