Chapitre I. Nombres réels
De même, l’inégalité
n
n
k=1
1
s − a k
−1
1
n
n
k=1
(s − a k )
implique
n
k=1
1
s − a k
n 2
s(n − 1)
.
Le résultat demandé découle de ce qui précède et des égalités
n
k=1
a k
s − a k
= s
n
k=1
1
s − a k
− n et
n
k=1
s − a k
a k
= s
n
k=1
1
a k
− n.
(b) Voir la solution de la partie (a).
(c) Ceci s’obtient par la même méthode qu’en (a).
I.2.11. On utilise l’inégalité
1+a k
2
√
a k .
I.2.12. On a
n
k=1
a
2
k
n
k=1
b
2
k −
n
k=1
a k b k
2
=
n
k,j=1
a
2
k b
2
j −
n
k,j=1
a k b k a j b j
=
1
2
n
k,j=1
(a k b j − b k a j )
2
0.
I.2.13. Cette inégalité est équivalente à l’inégalité suivante :
n
k,j=1
(a k a j + b k b j )
n
k,j=1
a
2
k + b
2
k
1
2
a
2
j + b
2
j
1
2 ,
qui est elle-même une conséquence immédiate de l’inégalité évidente
a k a j + b k b j
a
2
k + b
2
k
1
2
a
2
j + b
2
j
1
2 .
I.2.14. La proposition se déduit de l’inégalité de Cauchy.
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