Chapitre I. Nombres réels
on a, par hypothèse de récurrence, a 2 + a 3 + . . . + a n + (a n+1 a 1 ) n. D’où,
a 1 + a 2 + . . . + a n + a n+1 n + a n+1 + a 1 − a n+1 a 1
= n + a n+1 (1 − a 1 ) + a 1 − 1 + 1
= n + 1 + (a n+1 − 1)(1 − a 1 )
n + 1.
I.2.3. Les inégalités se déduisent de la proposition prouvée en I.2.2. En effet,
en remplaçant ici les a j par
a j
n
√ a 1 ···an
, on obtient A n G n . L’inégalité G n H n
se déduit de l’inégalité A n G n en remplaçant les a j par leurs inverses
1
a j
.
I.2.4. On a, en utilisant l’inégalité entre les moyennes arithmétique et géométrique,
n
(1 + nx) × 1 × . . . × 1 1 + x
(n facteurs).
I.2.5.
(a) On applique l’inégalité entre les moyennes arithmétique et harmonique.
(b) On applique l’inégalité entre les moyennes arithmétique et harmonique.
(c) La première inégalité peut se prouver comme en (a) et (b). Pour démontrer la seconde inégalité, on observe que
1
3n + 1
+
1
3n + 2
+ . . . +
1
5n
+
1
5n + 1
<
1
3n + 1
+
2n
3n + 2
<
2
3
.
(d) D’après l’inégalité entre les moyennes arithmétique et géométrique,
2
1
+
3
2
+
4
3
+ . . . +
n + 1
n
> n
n
√
n + 1.
D’où,
1 + 1 + 1 +
1
2
+ 1 +
1
3
+ . . . + 1 +
1
n
> n
n
√
n + 1
et
1 +
1
2
+
1
3
+ . . . +
1
n
> n
n
√
n + 1 − 1
.
Pour prouver l’autre inégalité, on utilise l’inégalité entre les moyennes
arithmétique et géométrique pour obtenir
1
2
+
2
3
+
3
4
+ . . . +
n
n + 1
>
n
n
√
n + 1
.
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