Solutions
III.8.34. On suppose que le produit
+∞
n=1
(1 + ca n ) converge en c = c 0 et en
c = c 1 , c 0 = c 1 . Les produits
+∞
n=1
(1 + c 1 a n )
c 0
c 1
et
+∞
n=1
(1 + c 1 a n )
c 0
c 1
1 + c 0 a n
convergent aussi. De plus,
(1 + c 1 a n )
c 0
c 1
1 + c 0 a n
= 1 +
c 0 (c 0 − c 1 )
2
a
2
n (1 + ε n ),
où ε n tend vers 0 lorsque n tend vers +∞. Donc, d’après III.8.3 et III.8.4, la
série
+∞
n=1
a 2
n converge. Puis, d’après III.8.13,
+∞
n=1
a n converge aussi. En conséquence, pour tout c ∈ R, chacune des séries
+∞
n=1
(ca n )
2 et
+∞
n=1
ca n converge. La
proposition se déduit donc de III.8.7.
III.8.35. Clairement, la série
+∞
n=1
a n
n
k=0
x 2 − k 2
converge si x est un entier.
On suppose maintenant qu’elle converge en x 0 /
∈ Z. Pour x ∈ R, on considère
la suite dont les termes sont donnés par
b n =
n
k=0
x 2 − k 2
n
k=0
x 2
0 − k 2
.
On a
b n =
n
k=0
x 2 − k 2
x 2
0 − k 2 =
n
k=0
1 +
x 2 − x 2
0
x 2
0 − k 2
.
On conclut de ceci qu’à partir d’une certaine valeur de l’indice n, la suite {b n }
est monotone. De plus, puisque le produit
n
k=0
x 2 −k 2
x 2
0 −k 2 converge, la suite {b n } est
bornée. On a aussi
+∞
n=1
a n
n
k=0
x
2
− k
2
=
+∞
n=1
a n
n
k=0
x
2
0 − k
2
b n .
Donc, d’après le test d’Abel, la série considérée converge pour tout x ∈ R.
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