Chapitre III. Séries de nombres réels
et, par récurrence,
B n = B 0 q
n 2 , n ∈ N
∗ .
Donc,
F (x) = B 0
1 +
+∞
n=1
q
n 2
x
n
+
1
x n
.
On peut utiliser les résultats de III.8.29 et III.8.30 pour déterminer B 0 . On
pose P n =
n
k=1
(1 − q 2k ) et P =
+∞
n=1
(1 − q 2n ). On a alors
B 0 q
n 2 = B n = A n + A 1 A n+1 + . . . =
q n 2
P n
+
q (n+1)
2 +1
P 1 P n+1
+ . . .
Donc,
P n B 0 − 1 <
q 2n
P 2 +
q 4n
P 2 + . . .
En faisant tendre alors n vers +∞, on obtient B 0 =
1
P .
III.8.32. On applique III.8.31 en prenant
(a) x = −1,
(b) x = 1,
(c) x = q.
III.8.33. On remarque que pour n > 1, on a
a n =
1
2
n−1
k=1
x − k
x + k
−
n
k=1
x − k
x + k
.
Donc,
S n =
n
k=1
a k =
1
1 + x
+
n
k=2
a k =
1
2
−
1
2
n
k=1
x − k
x + k
.
Si x ∈ N ∗ , alors S n =
1
2 pour n assez grand. On montre maintenant que
lim
n→+∞
S n =
1
2 pour x /
∈ N ∗ . On remarque que
x−k
x+k
= 1 −
2x
x+k pour k suffisamment grand. D’où, d’après le résultat de III.8.4,
lim
n→+∞
n
k=1
x − k
x + k
= 0,
ce qui donne lim
n→+∞
S n =
1
2 comme annoncé.
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