Solutions
III.8.30. On a
+∞
n=1
(1 + a n x)
1 +
a n
x
=
1 +
+∞
k=1
A k x
k
1 +
+∞
k=1
A k
x k
= 1 +
+∞
k=1
A k
x
k
+
1
x k
+
+∞
k=1
A k x
k
+∞
k=1
A k
x k .
La convergence absolue de
+∞
k=1
A k x k et
+∞
k=1
A k
x k implique celle de leur produit de
Cauchy (voir la solution du problème III.6.1). On remarque que ce produit
de Cauchy est un ordonnancement de la série double correspondant au tableau
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
A 1 A 1
A 2 A 2
A 3 A 3
. . .
A 2 A 1
x +
1
x
A 3 A 2
x +
1
x
A 4 A 3
x +
1
x
. . .
A 3 A 1
x 2 +
1
x 2
A 4 A 2
x 2 +
1
x 2
A 5 A 3
x 2 +
1
x 2
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
.
On obtient donc, d’après III.7.18 et III.7.22,
+∞
k=1
A k x
k
+∞
k=1
A k
x k = (A 1 A 1 + A 2 A 2 + A 3 A 3 + . . .)
+ (A 2 A 1 + A 3 A 2 + A 4 A 3 + . . .)
x +
1
x
+ (A 3 A 1 + A 4 A 2 + A 5 A 3 + . . .)
x
2
+
1
x 2
+ . . .
III.8.31. [4]. D’après III.8.30, on a
+∞
n=1
1 + q
2n−1 x
1 +
q 2n−1
x
= B 0 +
+∞
n=1
B n
x
n
+
1
x n
.
En posant
F (x) =
+∞
n=1
1 + q
2n−1 x
1 +
q 2n−1
x
et en utilisant l’égalité qxF (q 2 x) = F (x), on obtient
B 1 = B 0 q, B n = B n−1 q
2n−1
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