Chapitre III. Séries de nombres réels
La convergence absolue de
+∞
n=1
(1 + a n ) implique alors la convergence absolue
de la série 1 + a 1 +
+∞
n=2
a n (1 + a 1 )(1 + a 2 ) · · · (1 + a n−1 ). Cette série est un
ordonnancement de la série double dont les termes forment le tableau infini
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
a 1
a 2
a 3
a 4 . . .
a 1 a 2 a 1 a 3 a 2 a 3 a 1 a 4 . . .
a 1 a 2 a 3 a 1 a 2 a 4 a 1 a 3 a 4 a 2 a 3 a 4 . . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
.
D’après III.7.18, la série double est absolument convergente et, d’après
III.7.22, la série itérée donnée dans le problème converge. On obtient donc
l’égalité demandée.
III.8.27. La série
+∞
n=1
a n étant absolument convergente, la série
+∞
n=1
a n x est
absolument convergente pour tout x ∈ R. Il suffit d’alors d’appliquer le problème précédent.
III.8.28. Clairement, pour |q| < 1 et x ∈ R, le produit
+∞
n=1
(1 + q n x) est
absolument convergent. En prenant a n = q n dans le problème précédent, on
obtient f (x) =
+∞
n=1
(1 + q n x) = 1 + A 1 x + A 2 x 2 + . . .. On observe alors que
(1 + qx)f (qx) = f (x). En égalant les coefficients des termes de même degré,
on obtient donc
A 1 =
q
1 − q
et A n = A n−1
q n
1 − q n pour n = 2, 3, . . .
Finalement, par récurrence, on montre que
A n =
q
n(n+1)
2
(1 − q)(1 − q 2 ) · · · (1 − q n )
.
III.8.29. On pose f (x) =
+∞
n=1
1 + q 2n−1 x
et on note que (1 + qx)f
q 2 x
=
f (x). On applique alors un raisonnement semblable à celui utilisé au problème III.8.28.
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