Solutions
III.8.23. On a
2n
k=1
1 + x
k
=
2n
k=1
1 − x 2k
1 − x k =
2n
k=1
1 − x 2k
2n
k=1
(1 − x k )
=
2n
k=1
1 − x 2k
n
k=1
(1 − x 2k )
n
k=1
(1 − x 2k−1 )
=
2n
k=n+1
1 − x 2k
n
k=1
(1 − x 2k−1 )
.
Le résultat cherché se déduit alors du critère de Cauchy (voir III.8.22).
III.8.24. Il s’agit d’une conséquence de III.8.3.
III.8.25. On note que pour a 1 , a 2 , . . . , a n ∈ R, on a
|(1 + a 1 )(1 + a 2 ) · · · (1 + a n ) − 1| (1 + |a 1 |)(1 + |a 2 |) · · · (1 + |a n |) − 1
et on applique le critère de Cauchy (III.8.22).
III.8.26. On pose P n = (1 + a 1 )(1 + a 2 ) · · · (1 + a n ) pour n ∈ N ∗ . On a alors
P n − P n−1 = P n−1 a n et
P n = P 1 + (P 2 − P 1 ) + . . . + (P n − P n−1 )
= P 1 + P 1 a 2 + P 2 a 3 + . . . + P n−1 a n .
Donc,
P n = (1 + a 1 ) + a 2 (1 + a 1 ) + a 3 (1 + a 1 )(1 + a 2 )
+ . . . + a n (1 + a 1 )(1 + a 2 ) · · · (1 + a n−1 )
ou, de façon équivalente,
P n = (1 + a 1 ) + (a 2 + a 1 a 2 ) + (a 3 + a 1 a 3 + a 2 a 3 + a 1 a 2 a 3 )
+ . . . +
a n + a 1 a n + . . . + a n−1 a n + a 1 a 2 a n
+ . . . + a n−2 a n−1 a n + . . . + a 1 a 2 · · · a n−1 a n
.
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