Chapitre III. Séries de nombres réels
III.8.19. Voir le problème III.1.9.
III.8.20. Voir le problème III.1.9.
III.8.21. Appliquez le problème précédent en prenant a n = x n .
III.8.22. On suppose d’abord que le produit
+∞
n=1
a n converge, autrement dit,
que lim
n→+∞
P n = P = 0, où P n =
n
k=1
a k . Ceci implique qu’il existe α > 0 tel que
|P n | α pour tout n ∈ N ∗ . La suite convergente {P n } est une suite de Cauchy.
Donc, pour tout ε > 0, il existe un entier n 0 tel que |P n+k − P n−1 | < εα si
n n 0 et k ∈ N ∗ . D’où,
P n+k
P n−1
− 1
<
εα
|P n−1 |
ε pour n n 0 .
On suppose maintenant que pour tout ε > 0, il existe un entier n 0 tel que
|a n a n+1 · · · a n+k − 1| < ε
(1)
pour n n 0 et k ∈ N ∗ . En prenant ε =
1
2 , on obtient
1
2
<
P n−1
P n 0
<
3
2
pour n > n 0 .
(2)
Puis en utilisant (1) en remplaçant ε par
2ε
3|Pn 0 |
, on trouve un entier n 1 tel que
P n+k
P n−1
− 1
<
2ε
3 |P n 0 |
pour n n 1 , k ∈ N
∗ .
Donc, si n > max {n 0 , n 1 }, alors
|P n+k − P n−1 | <
2ε
3
P n−1
P n 0
< ε.
Ceci signifie que {P n } est une suite de Cauchy. De plus, (2) implique que sa
limite est différente de 0.
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