Solutions
III.8.15. Oui. Puisque {a n } décroît vers 1, on peut écrire a n = 1 + α n , {α n }
décroissant vers 0. La convergence du produit est équivalente à celle de
+∞
n=1
(−1)
n−1
ln(1 + α n ).
Clairement, cette série converge d’après la règle de Leibniz.
III.8.16.
(a) Puisque lim
n→+∞
(a n + b n ) = 1 + 1 = 2, la condition nécessaire pour la
convergence d’un produit n’est pas vérifiée.
(b) La convergence de
+∞
n=1
a 2
n se déduit de la convergence de la série
+∞
n=1
ln a 2
n .
(c), (d) La convergence des produits se déduit de celle des séries
+∞
n=1
ln(a n b n ) =
+∞
n=1
ln a n +
+∞
n=1
ln b n
et
+∞
n=1
ln
a n
b n
=
+∞
n=1
ln a n −
+∞
n=1
ln b n .
III.8.17. On suppose que
+∞
n=1
x 2
n converge. Donc, lim
n→+∞
x n = 0 et la convergence des deux produits se déduit de III.8.4 et des égalités
lim
n→+∞
1 − cos x n
x 2
n
=
1
2
et
lim
n→+∞
1 −
sin xn
xn
x 2
n
=
1
6
.
On suppose maintenant qu’un des produits converge. Alors, lim
n→+∞
x n = 0 et
la convergence de
+∞
n=1
x 2
n se déduit des égalités ci-dessus.
III.8.18. On remarque que
a 1
n
k=2
1 +
a k
S k−1
= a 1
n
k=2
S k
S k−1
= S n .
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