Chapitre III. Séries de nombres réels
III.8.11. Non. D’après le test donné au problème précédent, on voit que le
produit donné en indication converge si
1
3 < α. D’autre part, les séries
−
1
2 α +
1
2 α +
1
2 2α
−
1
3 α +
1
3 α +
1
3 2α
−
1
4 α + . . .
et
−
1
2 α
2
+
1
2 α +
1
2 2α
2
+
−
1
3 α
2
+
1
3 α +
1
3 2α
2
+
−
1
4 α
2
+ . . .
divergent toutes deux si α
1
2 .
III.8.12. On remarque que si lim
n→∞
a n = 0, alors
lim
n→∞
ln(1 + a n ) − a n +
1
2 a 2
n −
1
3 a 3
n + . . . +
(−1)
k
k a k
n
|a n |
k+1
=
1
k + 1
.
III.8.13. D’après la formule de Taylor,
ln(1 + a n ) = a n −
1
2 (1 + θ n )
2 a
2
n = a n − Θ n a
2
n ,
où
2
9 < Θ n < 2 si |a n | <
1
2 . Donc, si n 1 et n 2 sont suffisamment grands et
n 1 < n 2 , alors
n 2
n=n 1
ln(1 + a n ) =
n 2
n=n 1
a n − Θ
n 2
n=n 1
a
2
n , où Θ ∈
2
9
, 2
.
La convergence de
+∞
n=1
a n se déduit donc du critère de Cauchy.
III.8.14. Si les produits
+∞
n=1
(1 + a n ) et
+∞
n=1
(1 − a n ) convergent tous deux,
alors
+∞
n=1
(1 − a 2
n ) converge aussi. La série
+∞
n=1
a 2
n converge donc (voir III.8.4).
Le résultat cherché se déduit alors du problème précédent.
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