Solutions
(f) Puisque lim
n→∞
n 2
√ n = 1, d’après II.5.5, on a lim
n→∞
1
n 2 ln n
√
n−1
= 1. La convergence du produit se déduit donc de celle de la série
+∞
n=2
ln n
n 2 .
III.8.7. Par hypothèse, la série
+∞
n=1
a n converge et on peut, sans perte de
généralité, supposer que |a n | < 1. Puisque
lim
n→∞
a n − ln(1 + a n )
a 2
n
=
1
2
(1)
et que la série
+∞
n=1
a n converge, la convergence de
+∞
n=1
a 2
n est équivalente à celle
de
+∞
n=1
ln(1 + a n ), qui à son tour est équivalente à celle de
+∞
n=1
(1 + a n ).
On note que si
+∞
n=1
a 2
n diverge, d’après (1),
a n − ln(1 + a n ) >
1
4
a
2
n pour tout n suffisamment grand.
La série
+∞
n=1
ln(1 + a n ) diverge donc vers −∞, ce qui signifie que le produit
+∞
n=1
(1 + a n ) diverge vers 0.
III.8.8. Le résultat se déduit immédiatement de III.8.7.
III.8.9. Appliquez III.8.7 et III.8.8.
III.8.10. On utilise l’égalité
lim
n→∞
ln(1 + a n ) − a n +
1
2 a 2
n
|a n |
3
=
1
3
et on procède comme dans la solution de III.8.7.
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