Chapitre III. Séries de nombres réels
III.8.5. On note que
2n
k=1
(1 + a k ) =
n
k=1
(1 + a 2k−1 )(1 + a 2k )
=
n
k=1
1 +
1
√
k
+
1
k
1 −
1
√
k
=
n
k=1
1 −
1
k
√
k
.
Donc, d’après III.8.4, le produit converge.
III.8.6.
(a) Puisque cos
1
n = 1 −
1 − cos
1
n
et 1 = 1 − cos
1
n > 0 pour tout n ∈ N ∗ ,
on peut appliquer le résultat de III.8.4. La convergence du produit se
déduit de la convergence de la série
+∞
n=1
1 − cos
1
n
(voir III.2.1 (e)).
(b) Comme en (a), la convergence du produit découle de la convergence de
+∞
n=1
1 − n sin
1
n
(voir III.2.5 (d)).
(c) On a
tan
π
4
+
1
n
=
1 + tan
1
n
1 − tan
1
n
= 1 +
2 tan
1
n
1 − tan
1
n
.
Puisque
2 tan
1
n
1−tan
1
n
> 0 pour n 2 et
lim
n→∞
2 tan
1
n
1−tan
1
n
1
n
= 2,
d’après III.8.3, le produit diverge.
(d) Étant donné que lim
n→∞
1−n ln(1+
1
n )
1
n
=
1
2 , la convergence du produit se
déduit de III.8.4.
(e) La divergence du produit découle de celle de la série
+∞
n=1
(
n
√ n − 1) (voir
III.2.5 (a)).
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