Solutions
Les inégalités (1) et (2) et la continuité de la fonction exponentielle montrent
que la convergence du produit
+∞
n=1
(1 + a n ) est équivalente à celle de la série
+∞
n=1
a n .
III.8.4. On suppose que la série
+∞
n=1
a n converge. Pour N suffisamment
grand, on a alors
+∞
n=N
a n <
1
2 . Il découle de I.2.1 que
n
k=N
(1 − a k ) 1 −
n
k=N
a k >
1
2
.
Puisque P n =
n
k=1
(1 − a k ) = P N −1
n
k=N
(1 − a k ), on voit que la suite
Pn
P N−1
est décroissante et minorée, donc convergente vers une limite que l’on note P
et P ∈
1
2 , 1
. D’où, lim
n→+∞
P n = P N −1 P = 0.
Pour prouver l’autre implication, on suppose que
+∞
n=1
a n diverge. Si la suite
{a n } ne converge pas vers 0, alors la suite {1 − a n } ne converge pas vers 1 et la
condition nécessaire de convergence du produit
+∞
n=1
(1 − a n ) n’est pas vérifiée.
On peut donc supposer que lim
n→+∞
a n = 0 et, en conséquence, que 0 a n < 1
à partir d’une certaine valeur N de l’indice n. Vu l’égalité (voir II.5.7)
e
−x
= 1 − x +
x 2
2!
−
x 3
3!
+
x 4
4!
−
x 5
5!
+ . . . ,
on obtient 1 − x e −x pour 0 x < 1 car tous les termes entre parenthèses
sont positifs. D’où,
0
n
k=N
(1 − a k ) e
−
n
k=N
a k
(n N )
et, en conséquence, lim
n→+∞
n
k=N
(1 − a k ) = 0. Le produit
+∞
n=1
(1 − a n ) est donc
divergent.
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