Chapitre III. Séries de nombres réels
on obtient
lim
n→+∞
P n = lim
n→+∞
3 3n (2π)
3/2 n 3n+3/2 e −3n
(2π)
1/2
(3n + 1)
3n+1+1/2 e −3n−1
= 2πe lim
n→+∞
3n
3n + 1
3n
n
3n + 1
3/2
=
2π
3
√ 3
.
III.8.2.
(a)
P 2n =
2n
k=2
1 +
(−1)
k
k
=
3
2
·
2
3
·
5
4
·
4
5
· · ·
1 +
1
2n
= 1 +
1
2n
− −−−− →
n→+∞
1,
P 2n−1 =
3
2
·
2
3
·
5
4
·
4
5
· · ·
2n − 1
2n − 2
·
2n − 2
2n − 1
= 1.
(b) On a
P n =
n
k=1
1 +
1
k
= 2 ·
3
2
·
4
3
· · ·
n + 1
n
= n + 1 − −−−− →
n→+∞
+∞,
donc
+∞
n=1
1 +
1
n
diverge.
(c) Le produit
+∞
n=1
1 −
1
n
diverge car
P n =
n
k=2
1 −
1
k
=
1
2
·
2
3
·
3
4
· · ·
n − 1
n
=
1
n
− −−−− →
n→+∞
0.
III.8.3. On note d’abord que pour a n 0, on a
a 1 + a 2 + . . . + a n (1 + a 1 )(1 + a 2 ) · · · (1 + a n ).
(1)
De plus, l’inégalité e x 1 + x pour x 0 donne
(1 + a 1 )(1 + a 2 ) · · · (1 + a n ) e
a 1 +a 2 +...+an .
(2)
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