Solutions
(e) On a
n
k=0
1 + x
2 k
=
n
k=0
1 − x 2 k+1
1 − x 2 k =
1 − x 2n+1
1 − x
− −−−− →
n→+∞
1
1 − x
.
(f)
n
k=1
1 +
1
k(k + 2)
=
n
k=1
(k + 1)
2
k(k + 2)
=
2(n + 1)
n + 2
− −−−− →
n→+∞
2.
(g) Puisque
n
k=1
a
(−1) k
k
= a
n
k=1
(−1) k
k
,
la continuité de la fonction exponentielle et III.1.32 (a) impliquent
+∞
n=1
a
(−1) n
n
= a − ln 2 .
(h)
n
k=1
e
1
k
1 +
1
k
=
e
n
k=1
1
k
n + 1
= e
n
k=1
1
k
−ln n ×
n
n + 1
.
Donc, d’après II.1.41,
+∞
n=1
e
1
n
1 +
1
n
= e
γ
où γ est la constante d’Euler.
(i) On a
P n =
n
k=1
(3k) 2
(3k − 1)(3k + 1)
=
n
k=1
(3k) 3
(3k − 1)3k(3k + 1)
=
3 3n (n!) 3
(3n + 1)!
.
En utilisant la formule de Stirling
n! = α n
√ 2πn
n
e
n
où
lim
n→+∞
α n = 1,
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