Chapitre III. Séries de nombres réels
De même, en prenant n = 3, on trouve
ζ(6) =
+∞
n=1
1
n 6 =
π 6
945
.
De même,
ζ(8) =
+∞
n=1
1
n 8 =
π 8
9450
.
III.8. Produits infinis
III.8.1.
(a) On a
P n =
n
k=2
1 −
1
k 2
=
n
k=2
(k − 1)(k + 1)
k 2
=
n + 1
2n
− −−−− →
n→+∞
1
2
.
(b)
n
k=2
(k − 1)(k 2 + k + 1)
(k + 1)(k 2 − k + 1)
=
n
k=2
(k − 1)
(k + 1) 2 − (k + 1) + 1)
(k + 1)(k 2 − k + 1)
=
2(n 2 + n + 1)
3n(n + 1)
− −−−− →
n→+∞
2
3
.
(c) Pour x = 0, la valeur du produit est égale à 1. Si x = 2 m π
2 + kπ
, alors
cos
x
2 m = 0 et sin
x
2 m = 0. Donc,
n
k=1
cos
x
2 k =
n
k=1
1
2
sin
x
2 k−1
sin
x
2 k
=
sin x
2 n sin
x
2 n
− −−−− →
n→+∞
sin x
x
.
(d) Vu les relations
sh(2x) = 2 sh x ch x et lim
x→0
sh x
x
= 1,
comme en (c), on obtient
+∞
n=1
ch
x
2 n =
⎧
⎨
⎩
sh x
x
si x = 0,
1
si x = 0.
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