Solutions
De plus, puisque 0 <
1
N −j+1 + . . . +
1
N +j <
2j
N −j+1 , on voit que
0 <
N
j=1
1
j 2n−1
1
N − j + 1
+ . . . +
1
N + j
< 2
N
j=1
1
j 2n−2
1
N − j + 1
2
N
j=1
1
j
1
N − j + 1
=
2
N + 1
N
j=1
1
j
+
1
N − j + 1
=
4
N + 1
N
j=1
1
j
4
N + 1
(γ + ln(N + 1)) ,
où γ est la constante d’Euler (voir II.1.41). Finalement, d’après (1),
lim
N →+∞
N
j=1
N
k=1
1
k 2
1
j 2n−2 +
1
k 4
1
j 2n−4 + . . . +
1
k 2n−2
1
j 2
= lim
N →+∞
n +
1
2
N
j=1
1
j 2n =
n +
1
2
ζ(2n).
III.7.37. En substituant n = 2 dans l’identité donnée au problème précédent, on obtient
ζ(2)ζ(2) =
2 +
1
2
ζ(4).
Puisque ζ(2) =
π 2
6 (voir III.1.28 (a)), on a (voir aussi III.1.28 (b))
ζ(4) =
+∞
n=1
1
n 4 =
π 4
90
.
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