Chapitre III. Séries de nombres réels
Donc,
lim
N →+∞
N
j=1
⎛
⎜
⎜
⎝
N
k=1
k =j
j 2−2n − k 2−2n
k 2 − j 2
+ (n − 1)
1
j 2n
⎞
⎟
⎟
⎠
= lim
N →+∞
⎛
⎜
⎜
⎝ 2
N
j=1
1
j 2n−2
N
k=1
k =j
1
k 2 − j 2 + (n − 1)
N
j=1
1
j 2n
⎞
⎟
⎟
⎠ .
(3)
On observe maintenant que
2j
N
k=1
k =j
1
k 2 − j 2 =
N
k=1
k =j
1
k − j
−
N
k=1
k =j
1
k + j
=
j−1
k=1
1
k − j
+
N
k=j+1
1
k − j
−
N
k=1
1
k + j
+
1
2j
= −
j−1
k=1
1
k
+
N −j
k=1
1
k
−
N +j
k=j+1
1
k
+
1
2j
= −
N +j
k=1
1
k
+
1
j
+
N −j
k=1
1
k
+
1
2j
=
3
2j
−
1
N − j + 1
+
1
N − j + 2
+ . . . +
1
N + j
.
Donc, d’après (3),
N
j=1
⎛
⎜
⎜
⎝
N
k=1
k =j
j 2−2n − k 2−2n
k 2 − j 2
+ (n − 1)
1
j 2n
⎞
⎟
⎟
⎠
=
n +
1
2
N
j=1
1
j 2n −
N
j=1
1
j 2n−1
1
N − j + 1
+ . . . +
1
N + j
.
342