Solutions
(b) Comme en (a),
+∞
p=2
(−1)
p S p =
+∞
k=2
1
k(k + 1)
=
1
2
.
III.7.35. Soit B l’ensemble des entiers qui ne sont pas des puissances. On a
A = {k
n
: n ∈ N, n 2, k ∈ B} .
Puisque
1
n−1 =
+∞
j=1
1
n j , n 2, en appliquant III.7.23 et III.7.34, on obtient
n∈A
1
n − 1
=
n∈A
+∞
j=1
1
n j =
k∈B
+∞
n=2
+∞
j=1
1
k nj
=
k∈B
+∞
j=1
+∞
n=2
1
k nj =
+∞
k=2
+∞
n=2
1
k n = 1.
III.7.36. [G. T. Williams, Amer. Math. Monthly, 60 (1953), 19-25]. Le premier
membre de l’égalité est égal à
lim
N →+∞
N
j=1
N
k=1
1
k 2
1
j 2n−2 +
1
k 4
1
j 2n−4 + . . . +
1
k 2n−2
1
j 2
.
(1)
En sommant l’expression entre parenthèses, on obtient
lim
N →+∞
N
j=1
⎛
⎜
⎜
⎝
N
k=1
k =j
j 2−2n − k 2−2n
k 2 − j 2
+ (n − 1)
1
j 2n
⎞
⎟
⎟
⎠ .
(2)
On remarque que
N
j=1
N
k=1
k =j
j 2−2n − k 2−2n
k 2 − j 2
=
N
j=1
N
k=1
k =j
j 2−2n
k 2 − j 2 −
N
j=1
N
k=1
k =j
k 2−2n
k 2 − j 2
=
N
j=1
N
k=1
k =j
1
j 2n−2
1
k 2 − j 2 +
N
j=1
N
k=1
k =j
1
k 2n−2
1
j 2 − k 2
= 2
N
j=1
1
j 2n−2
N
k=1
k =j
1
k 2 − j 2 .
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