Chapitre III. Séries de nombres réels
III.7.32. On a
+∞
i=1
+∞
k=1
|x|
ik
=
+∞
i=1
|x|
i
1 − |x|
i
.
D’après le test du quotient, la série dans le second membre de cette égalité
converge. Ceci signifie que la série itérée converge absolument. Donc, d’après
III.7.23, on a
+∞
i,k=1
x
ik
=
+∞
k=1
x k
1 − x k .
En regroupant les paires (i, k) pour lesquelles le produit ik est le même, on
obtient
+∞
i,k=1
x
ik
=
+∞
n=1
θ(n)x
n ,
car le nombre de diviseurs de n est égal au nombre de paires (i, k) telles que
ik = n. De plus, pour n = 2, 3, . . ., on a
S n,n − S n−1,n−1 = x
n
+ x
2n
+ . . . + x
(n−1)n
+ x
n 2 + x
n(n−1)
+ . . . + x
n×2
+ x
n
= 2
x n − x n 2
1 − x n + x
n 2 .
Clairement, S 1,1 = x = 2
x−x
1−x + x. Donc, en tenant compte du fait que
S n,n = (S n,n − S n−1,n−1 ) + (S n−1,n−1 − S n−2,n−2 ) + . . . + S 1,1 ,
on voit que
+∞
k=1
x k
1 − x k = 2
+∞
n=1
x n − x n 2
1 − x n +
+∞
n=1
x
n 2 .
III.7.33. Comme dans la solution du problème précédent, on montre que la
série itérée converge absolument. La première égalité se déduit donc directement de III.7.23. Pour prouver l’autre égalité, on considère l’ordonnancement
de la série double décrite dans la solution de III.7.32.
III.7.34.
(a) D’après III.7.23,
+∞
p=2
S p =
+∞
n=2
1
2 n +
+∞
n=2
1
3 n + . . . =
+∞
k=2
1
k(k − 1)
= 1.
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