Solutions
III.7.29.
(a) Il suffit de calculer la somme de la série itérée. On a
+∞
i=2
+∞
k=2
1
(p + i)
k
=
+∞
i=2
1
p + i
−
1
p + i − 1
=
1
p + 1
.
(b) Comme en (a), on calcule la somme de la série itérée :
+∞
k=1
+∞
i=2
1
(2k)
i
=
+∞
k=1
1
2k(2k − 1)
=
+∞
k=1
1
2k − 1
−
1
2k
=
+∞
k=1
(−1)
k−1 1
k
= ln 2,
la dernière égalité se déduisant de III.1.32 (a).
(c) Comme en (b), on a
+∞
i=1
+∞
k=1
1
(4i − 1)
2k
=
+∞
i=1
1
(4i − 2)4i
=
1
4
ln 2.
III.7.30. Comme S m,n =
m
i=1
n
k=1
a i,k = b m,n , on voit que
a 1,1 = S 1,1 = b 1,1 ,
a 1,n = S 1,n − S 1,n−1 = b 1,n − b 1,n−1 , n > 1,
a m,1 = S m,1 − S m−1,1 = b m,1 − b m−1,1 , m > 1.
De même, pour m, n > 1, on obtient
a m,n = S m,n − S m−1,n − (S m,n−1 − S m−1,n−1 )
= b m,n − b m−1,n − (b m,n−1 − b m−1,n−1 ), m,n > 1.
III.7.31. On a S m,n = (−1)
m+n 1
2 m +
1
2 n
. Donc, pour ε > 0, il existe n 0 tel
que |S m,n | < ε si m, n > n 0 . La série double converge donc vers 0. Cependant,
chacune des séries itérées diverge. En effet,
n
k=1
a i,k = S i,n − S i−1,n = (−1)
i+n 3
2 i + (−1)
i+n 1
2 n−1 ,
ce qui implique que toutes les séries
n
k=1
a i,k (i ∈ N ∗ ) divergent.
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