Chapitre III. Séries de nombres réels
III.7.26. Il découle de III.7.23 que
+∞
n,k=0
n!k!
(n + k + 2)!
=
+∞
k=0
k!
k + 1
+∞
n=0
n!
(n + k + 1)!
−
(n + 1)!
(n + k + 2)!
=
+∞
k=0
k!
k + 1
0!
(k + 1)!
=
+∞
k=0
1
(k + 1)
2 .
Le résultat demandé est donc prouvé, d’après III.1.28 (a).
III.7.27. On observe que les sommes des séries formées par chaque ligne du
tableau sont finies. En effet la somme de la première ligne est égale à x, celle
de la seconde est égale à x(1 − x), celle de la troisième à x (1 − x)
2 , etc. De
plus,
x + x(1 − x) + x (1 − x)
2
+ . . . = 1.
D’autre part, les sommes des séries formées par chaque colonne sont alternativement égales à +1 et −1. L’autre série itérée diverge donc et, d’après III.7.23,
on conclut que la série itérée n’est pas absolument convergente.
III.7.28.
(a) La convergence absolue de
+∞
i=0
x i et
+∞
k=0
y k implique la convergence absolue de la série itérée
+∞
i=0
+∞
k=0
x i y k
car
+∞
i=0
+∞
k=0
x
i y
k
=
+∞
i=0
x
i
1
1 − |y|
=
1
(1 − |x|)(1 − |y|)
.
La série double est donc absolument convergente.
(b) En considérant les séries itérées, on voit que la série étudiée converge si
et seulement si α > 1 et β > 1.
(c) En rassemblant les termes pour lesquels i + k = n, on obtient
+∞
i,k=1
1
(i + k)
p =
+∞
n=2
(n − 1)
1
n p .
La série double converge donc si p > 2 et diverge si p 2.
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III.7.26. Il découle de III.7.23 que
+∞
n,k=0
n!k!
(n + k + 2)!
=
+∞
k=0
k!
k + 1
+∞
n=0
n!
(n + k + 1)!
−
(n + 1)!
(n + k + 2)!
=
+∞
k=0
k!
k + 1
0!
(k + 1)!
=
+∞
k=0
1
(k + 1)
2 .
Le résultat demandé est donc prouvé, d’après III.1.28 (a).
III.7.27. On observe que les sommes des séries formées par chaque ligne du
tableau sont finies. En effet la somme de la première ligne est égale à x, celle
de la seconde est égale à x(1 − x), celle de la troisième à x (1 − x)
2 , etc. De
plus,
x + x(1 − x) + x (1 − x)
2
+ . . . = 1.
D’autre part, les sommes des séries formées par chaque colonne sont alternativement égales à +1 et −1. L’autre série itérée diverge donc et, d’après III.7.23,
on conclut que la série itérée n’est pas absolument convergente.
III.7.28.
(a) La convergence absolue de
+∞
i=0
x i et
+∞
k=0
y k implique la convergence absolue de la série itérée
+∞
i=0
+∞
k=0
x i y k
car
+∞
i=0
+∞
k=0
x
i y
k
=
+∞
i=0
x
i
1
1 − |y|
=
1
(1 − |x|)(1 − |y|)
.
La série double est donc absolument convergente.
(b) En considérant les séries itérées, on voit que la série étudiée converge si
et seulement si α > 1 et β > 1.
(c) En rassemblant les termes pour lesquels i + k = n, on obtient
+∞
i,k=1
1
(i + k)
p =
+∞
n=2
(n − 1)
1
n p .
La série double converge donc si p > 2 et diverge si p 2.
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