Solutions
infini (a i,k ) i,k∈N ∗ . Pour l ∈ N ∗ , il existe alors m et n suffisamment grands pour
que
|c 1 | + |c 2 | + . . . + |c l |
m
i=1
n
k=1
|a i,k | S
∗ .
La série
+∞
n=1
c n est absolument convergente ce qui implique alors la convergence
absolue de la série double (voir III.7.18).
III.7.24. Puisque
m
k=0
m
k
= 2 m , on a
m
n,k=0
k+n=m
1
n!k! =
2 m
m! . Donc,
m
n,k=0
k+n=m
1
n!k!(n + k + 1)
=
2 m
(m + 1)!
.
En conséquence, d’après III.7.23, on a
+∞
n,k=0
1
n!k!(n + k + 1)
=
+∞
m=0
m
n,k=0
k+n=m
1
n!k!(n + k + 1)
=
+∞
m=0
2 m
(m + 1)!
=
1
2
+∞
m=0
2 m+1
(m + 1)!
=
1
2
e
2
− 1
,
la dernière égalité découlant de II.5.7.
III.7.25. On a (voir III.7.23)
+∞
n,k=1
1
nk(n + k + 2)
=
+∞
n=1
1
n
+∞
k=1
1
n + 2
1
k
−
1
n + k + 2
=
+∞
n=1
1
n(n + 2)
1 +
1
2
+
1
3
+ . . . +
1
n + 2
=
1
2
+∞
n=1
1
n
−
1
n + 2
1 +
1
2
+
1
3
+ . . . +
1
n + 2
=
1
2
1 +
1
2
+
1
3
+
1
2
1 +
1
2
+
1
3
+
1
4
+
1
3
1
4
+
1
5
+
1
4
1
5
+
1
6
+ . . .
=
7
4
.
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