Chapitre III. Séries de nombres réels
converge vers S ∗ . En effet, étant donné ε > 0, il existe n 0 tel que S ∗ − ε <
S ∗
m,n < S ∗ pour m, n > n 0 . On fixe m pour le moment. La suite {S ∗
m,n } est alors
croissante et bornée donc convergente, lim
n→+∞
S ∗
m,n = S ∗
m et S ∗ − ε < S ∗
m < S ∗
pour m > n 0 . Ceci signifie que lim
m→+∞
lim
n→+∞
S ∗
m,n
= S ∗ . On sait par le
problème précédent que la convergence absolue de la série itérée implique
sa convergence. Donc,
+∞
k=1
a i,k converge pour tout i ; notons S i la limite. On
montre alors que pour tout ε > 0, il existe m 1 tel que
|(S 1 + S 2 + . . . + S m ) − S| < ε pour m > m 1 .
Par convergence absolue de la série double, on a
|S m,n − S| <
ε
2
et
S
∗
m,n − S
∗
<
ε
2
pour m, n > m 1 .
Donc, pour m > m 1 , on a
|(S 1 + S 2 + . . . + S m ) − S| =
m
i=1
+∞
k=1
a i,k − S
|S m,n − S| +
m
i=1
+∞
k=n+1
a i,k
|S m,n − S| +
S
∗
− S
∗
m,n
< ε.
La démonstration de la convergence de l’autre série itérée se fait de la même
façon.
III.7.23. On note que la série
+∞
n=1
(a n,1 + a n−1,2 + a n−2,3 + . . . + a 1,n ) est un
ordonnancement de la série double. Si une des séries
+∞
i,k=1
|a i,k | et
+∞
n=1
(|a n,1 | + |a n−1,2 | + |a n−2,3 | + . . . + |a 1,n |)
converge, la proposition se déduit alors directement de III.7.18, III.7.19
et III.7.22. Il suffit donc de montrer que la convergence absolue d’une des
séries itérées implique celle de n’importe quel ordonnancement de la série
double. Pour ce faire, on suppose que
+∞
i=1
+∞
k=1
|a i,k |
converge vers une limite que l’on note S ∗ . Soit {c n } une suite obtenue par énumération du tableau
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