Solutions
T ∗
l S ∗
m,n < S ∗ + ε, ce qui signifie que la série
+∞
n=1
c n est absolument convergente. On note respectivement T n et T la n-ième somme partielle et la somme
de
+∞
n=1
c n . Pour prouver l’identité
+∞
i,k=1
a i,k =
+∞
n=1
c n ,
on se donne ε > 0 et on choisit l suffisamment grand pour que
|T
∗
l − T
∗
| <
ε
2
et |T l − T | <
ε
2
.
Si S m,n =
m
i=1
n
k=1
a i,k et si m et n sont suffisamment grands pour que tous les
termes de T l se trouvent dans S m,n , alors
|S m,n − T | |T − T l | + |T
∗
− T
∗
l | < ε.
III.7.20. Il s’agit d’un corollaire des deux problèmes précédents.
III.7.21. On suppose, par exemple, que la série itérée
+∞
i=1
+∞
k=1
|a i,k |
converge et on pose
+∞
k=1
|a i,k | = σ i et
+∞
i=1
σ i = σ. Chacune des séries
+∞
k=1
a i,k
(i ∈ N ∗ ) est donc convergente et
+∞
k=1
a i,k
= |S i | σ i . Ceci et la convergence de
+∞
i=1
σ i impliquent la convergence absolue de
+∞
i=1
S i . En conséquence,
+∞
i=1
S i =
+∞
i=1
+∞
k=1
a i,k
.
III.7.22. On pose
+∞
i,k=1
a i,k = S,
+∞
i,k=1
|a i,k | = S ∗ , on note S m,n =
m
i=1
n
k=1
a i,k
et S ∗
m,n =
m
i=1
n
k=1
|a i,k |. On prouve d’abord que la série itérée
+∞
i=1
+∞
k=1
|a i,k |
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