Chapitre III. Séries de nombres réels
En conséquence, T m =
+∞
k=1
c m,k S k , où
c m,k =
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
1 si k = β l,m , l = 0, 1, 2, . . . , j m ,
−1 si k = α l,m , l = 1, 2, . . . , j m ,
0 sinon.
Puisque lim
m→+∞
β 0,m = +∞, lim
m→+∞
c m,k = 0 pour tout k ∈ N ∗ . De plus,
+∞
k=1
c m,k = 1 pour m ∈ N ∗ et
+∞
k=1
|c m,k | = 2B m − 1, où B m représente le nombre
de blocs disjoints d’entiers consécutifs dans l’ensemble {n 1 , n 2 , . . . , n m }. Finalement, d’après le théorème de Toeplitz, lim
m→+∞
T m = lim
m→+∞
S m si et seulement
s’il existe N tel que B m N pour tout m ∈ N ∗ .
III.7.18. On suppose que la série
+∞
n=1
c n est absolument convergente et on
note S sa somme. Pour tout ε > 0, il existe k 0 tel que
|c 1 + c 2 + . . . + c k 0 − S| <
ε
2
et
+∞
l=k 0 +1
|c l | <
ε
2
.
Soit m, n deux entiers suffisamment grands pour qu’il existe i et k, i ∈
{1, 2, . . . , m}, k ∈ {1, 2, . . . , n}, tels que c l = a i,k , pour tout l ∈ {1, 2, . . . , k 0 }.
On a alors
|S m,n − S| < |c 1 + c 2 + . . . + c k 0 − S| +
+∞
l=k 0 +1
|c l | < ε.
La convergence de la série double vers S est donc prouvée. On peut prouver
de même la convergence absolue de cette série double.
III.7.19. On pose
S
∗
=
+∞
i,k=1
|a i,k | ,
T
∗
=
+∞
n=1
|c n | ,
S
∗
m,n =
m
i=1
n
k=1
|a i,k | ,
T
∗
n =
n
k=1
|c k | .
Soit ε > 0 et l ∈ N ∗ . On choisit m et n suffisamment grands pour que
tous les termes de T ∗
l se trouvent dans S ∗
m,n et
S ∗ − S ∗
m,n
< ε. On a alors
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