Solutions
III.7.16. On note respectivement {S m } et {T m } les suites des sommes partielles de
+∞
n=1
a n et
+∞
k=1
a n k . Puisque que {n k − k} est bornée, il existe l ∈ N ∗
tel que k − l n k k + l pour tout k ∈ N ∗ . Si m > l et n k m − l, alors
k − l n k m − l. Donc k m et, en conséquence,
{1, 2, . . . , m − l} ⊂ {n 1 , n 2 , . . . , n m }.
(1)
En effet, si s ∈ N ∗ et s m − l, il existe alors un unique k ∈ N ∗ tel que
s = n k . Il découle de ce qui précède que k m ou, dit autrement, que s ∈
{n 1 , n 2 , . . . , n m }. D’après (1), on voit que chaque a n pour n = 1, 2, . . . , m − l
apparaît dans T m . D’autre part, si k m, alors n k k + l m + l et réciproquement, tous les termes de a n 1 , a n 2 , . . . , a nm apparaissent dans S m+l .
D’où,
|S m − T m | |a m−l+1 | + . . . + |a m+l | pour m > l
et lim
m→+∞
S m = lim
m→+∞
T m .
Si la suite {n k − k} n’est pas bornée, les exemples donnés en III.7.2 -
III.7.6 montrent que la série réarrangée peut diverger ou que le réarrangement peut changer la somme de la série. On donne maintenant un exemple de
réarrangement qui ne change pas la somme de la série. Pour cela, on prend une
suite {n k } obtenue par la permutation des entiers positifs qui échange
n(n+1)
2
et
n(n+3)
2
et laisse les autres entiers inchangés. Puisque
n(n+3)
2
−
n(n+1)
2
= n,
la suite {n k − k} n’est pas bornée. De plus,
T m − S m =
0
si m =
n(n+3)
2
,
a n(n+3)/2 − a n(n+1)/2 si
n(n+1)
2
m <
n(n+3)
2
.
III.7.17. [R.P. Agnew, Proc. Amer. Math. Soc. 6(1955), 563-564]. On applique le
théorème de Toeplitz (voir III.4.37). On pose S m =
m
k=1
a k et T m =
m
k=1
a n k .
On suppose que m est suffisamment grand pour que 1 ∈ {n 1 , n 2 , . . . , n m } et
on ordonne les éléments de {n 1 , n 2 , . . . , n m } pour former une suite croissante
1, 2, 3, . . . , β 0,m , α 1,m + 1, α 1,m + 2, . . . , β 1,m ,
α 2,m + 1, α 2,m + 2, . . . , β 2,m , . . . , α jm,m + 1, α jm,m + 2, . . . , β jm,m ,
où
0 < β 0,m < α 1,m < β 1,m < α 2,m < . . . < β jm,m .
La somme partielle T m de la série réarrangée peut donc s’écrire de la façon
suivante :
T m = S β 0 ,m + (S β 1 ,m − S α 1 ,m ) + . . . + (S β jm ,m − S α jm ,m ).
333
III.7.16. On note respectivement {S m } et {T m } les suites des sommes partielles de
+∞
n=1
a n et
+∞
k=1
a n k . Puisque que {n k − k} est bornée, il existe l ∈ N ∗
tel que k − l n k k + l pour tout k ∈ N ∗ . Si m > l et n k m − l, alors
k − l n k m − l. Donc k m et, en conséquence,
{1, 2, . . . , m − l} ⊂ {n 1 , n 2 , . . . , n m }.
(1)
En effet, si s ∈ N ∗ et s m − l, il existe alors un unique k ∈ N ∗ tel que
s = n k . Il découle de ce qui précède que k m ou, dit autrement, que s ∈
{n 1 , n 2 , . . . , n m }. D’après (1), on voit que chaque a n pour n = 1, 2, . . . , m − l
apparaît dans T m . D’autre part, si k m, alors n k k + l m + l et réciproquement, tous les termes de a n 1 , a n 2 , . . . , a nm apparaissent dans S m+l .
D’où,
|S m − T m | |a m−l+1 | + . . . + |a m+l | pour m > l
et lim
m→+∞
S m = lim
m→+∞
T m .
Si la suite {n k − k} n’est pas bornée, les exemples donnés en III.7.2 -
III.7.6 montrent que la série réarrangée peut diverger ou que le réarrangement peut changer la somme de la série. On donne maintenant un exemple de
réarrangement qui ne change pas la somme de la série. Pour cela, on prend une
suite {n k } obtenue par la permutation des entiers positifs qui échange
n(n+1)
2
et
n(n+3)
2
et laisse les autres entiers inchangés. Puisque
n(n+3)
2
−
n(n+1)
2
= n,
la suite {n k − k} n’est pas bornée. De plus,
T m − S m =
0
si m =
n(n+3)
2
,
a n(n+3)/2 − a n(n+1)/2 si
n(n+1)
2
m <
n(n+3)
2
.
III.7.17. [R.P. Agnew, Proc. Amer. Math. Soc. 6(1955), 563-564]. On applique le
théorème de Toeplitz (voir III.4.37). On pose S m =
m
k=1
a k et T m =
m
k=1
a n k .
On suppose que m est suffisamment grand pour que 1 ∈ {n 1 , n 2 , . . . , n m } et
on ordonne les éléments de {n 1 , n 2 , . . . , n m } pour former une suite croissante
1, 2, 3, . . . , β 0,m , α 1,m + 1, α 1,m + 2, . . . , β 1,m ,
α 2,m + 1, α 2,m + 2, . . . , β 2,m , . . . , α jm,m + 1, α jm,m + 2, . . . , β jm,m ,
où
0 < β 0,m < α 1,m < β 1,m < α 2,m < . . . < β jm,m .
La somme partielle T m de la série réarrangée peut donc s’écrire de la façon
suivante :
T m = S β 0 ,m + (S β 1 ,m − S α 1 ,m ) + . . . + (S β jm ,m − S α jm ,m ).
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