Chapitre III. Séries de nombres réels
a i étant le dernier terme permis, autrement dit si on ajoute un terme n’apparaissant pas dans la suite {a rn } et d’indice plus grand que i, l’inégalité
précédente n’est pas vérifiée.
III.7.15. [W. Sierpiński, Bull. Inter. Acad. Sci. Cracovie, 1911, 149-158]. Soit
+∞
n=1
p n et
+∞
n=1
q n deux sous-séries complémentaires d’une série semi-convergente
+∞
n=1
a n formées respectivement des termes positifs et des termes strictement négatifs. Soit σ ∈ R. Puisque la série
+∞
n=1
p n tend vers +∞, il existe un plus petit
indice k 1 tel que
p 1 + p 2 + . . . + p k 1 > σ.
On choisit ensuite le plus petit indice n 1 tel que
p 1 + p 2 + . . . + p k 1 + q 1 + q 2 + . . . + q n 1 < σ.
Puis on trouve le plus petit indice k 2 tel que
p 1 + p 2 + . . . + p k 1 + q 1 + q 2 + . . . + q n 1 + p k 1 +1 + . . . + p k 2 > σ
et le plus petit indice n 2 tel que
p 1 + p 2 + . . . + p k 1 + q 1 + q 2 + . . . + q n 1 + p k 1 +1 + . . . + p k 2 + q n 1 +1 + . . . + q n 2 < σ.
En poursuivant ce procédé, on définit deux suites k 1 , k 2 , . . . et n 1 , n 2 , . . . et le
réarrangement correspondant de notre série. Soit S n la n-ième somme partielle
de ce réarrangement. On a
S n σ pour n < k 1 et S n σ pour k 1 n < k 1 + n 1 .
De plus,
S n σ pour k m + n m n < k m+1 + n m ,
S n σ pour k m+1 + n m n < k m+1 + n m+1 ,
où m ∈ N ∗ . Par définition des suites {k m } et {n m }, on a aussi
S k m+1 −1+nm − σ
< p k m+1 ,
S k m+1 +nm − σ
< p k m+1 ,
S k m+1 +nm+l − σ
< p k m+1 pour l = 1, 2, . . . , n m+1 − n m − 1,
S k m+1 +n m+1 − σ
<
q n m+1
,
S k m+1 +l+n m+1 − σ
<
q n m+1
pour l = 1, 2, . . . , k m+2 − k m+1 − 1.
Puisque lim
n→+∞
p n = lim
n→+∞
q n = 0, on conclut que lim
n→+∞
S n = σ.
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