Solutions
D’après II.1.41, chacune des deux premières parenthèses tend vers la constante
d’Euler γ. Comme en II.5.8 (a), on peut montrer que la troisième parenthèse
tend vers
1
2 ln k. Donc,
lim
u→+∞
1
2u + 1
+
1
2u + 3
+ . . . +
1
2d − 1
=
1
2
ln k.
En conséquence, (1) implique
lim
u→+∞
(f (2u + 1) + f (2u + 3) + . . . + f (2d − 1)) =
1
2
g ln k.
Le changement dans la somme de la série est donc égal à
1
2 g ln k. Le même
raisonnement peut s’appliquer au cas où d < u.
III.7.11. Il suffit d’appliquer le réarrangement décrit dans la solution du
problème III.7.9 en prenant ν(u) = l [(2u)
p
].
III.7.12. On prend le réarrangement décrit dans la solution du problème III.7.10 avec lim
u→+∞
d
u = α.
III.7.13. Non. En effet, soit
+∞
k=1
a n k un réarrangement d’une série divergente
+∞
n=1
a n . La monotonie de la suite {a n } implique
a n 1 + a n 2 + . . . + a nm a 1 + a 2 + . . . + a m .
Il n’est donc pas possible d’accélérer la divergence de cette série.
III.7.14. [20]. On choisit une sous-suite {a rn } de {a n } telle que
a rn < min
2
−n , Q n − Q n−1
pour n ∈ N ∗ en posant Q 0 = 0. On a alors
a r 1 + a r 2 + . . . + a rn Q n et a r 1 + a r 2 + . . . + a rn < 1.
Puisque lim
n→+∞
Q n = +∞, la suite {Q n − (a r 1 + a r 2 + . . . + a rn )} tend aussi
vers +∞. On ajoute maintenant les termes de
+∞
n=1
a n qui n’apparaissent pas
dans la suite {a rn } à la somme a r 1 + a r 2 + . . . + a rn de sorte que
a 1 + a 2 + . . . + a r 1 −1 + a r 1 + a r 1 +1 + . . . + a i + a r k + a r k+1 + . . . + a rn Q n ,
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D’après II.1.41, chacune des deux premières parenthèses tend vers la constante
d’Euler γ. Comme en II.5.8 (a), on peut montrer que la troisième parenthèse
tend vers
1
2 ln k. Donc,
lim
u→+∞
1
2u + 1
+
1
2u + 3
+ . . . +
1
2d − 1
=
1
2
ln k.
En conséquence, (1) implique
lim
u→+∞
(f (2u + 1) + f (2u + 3) + . . . + f (2d − 1)) =
1
2
g ln k.
Le changement dans la somme de la série est donc égal à
1
2 g ln k. Le même
raisonnement peut s’appliquer au cas où d < u.
III.7.11. Il suffit d’appliquer le réarrangement décrit dans la solution du
problème III.7.9 en prenant ν(u) = l [(2u)
p
].
III.7.12. On prend le réarrangement décrit dans la solution du problème III.7.10 avec lim
u→+∞
d
u = α.
III.7.13. Non. En effet, soit
+∞
k=1
a n k un réarrangement d’une série divergente
+∞
n=1
a n . La monotonie de la suite {a n } implique
a n 1 + a n 2 + . . . + a nm a 1 + a 2 + . . . + a m .
Il n’est donc pas possible d’accélérer la divergence de cette série.
III.7.14. [20]. On choisit une sous-suite {a rn } de {a n } telle que
a rn < min
2
−n , Q n − Q n−1
pour n ∈ N ∗ en posant Q 0 = 0. On a alors
a r 1 + a r 2 + . . . + a rn Q n et a r 1 + a r 2 + . . . + a rn < 1.
Puisque lim
n→+∞
Q n = +∞, la suite {Q n − (a r 1 + a r 2 + . . . + a rn )} tend aussi
vers +∞. On ajoute maintenant les termes de
+∞
n=1
a n qui n’apparaissent pas
dans la suite {a rn } à la somme a r 1 + a r 2 + . . . + a rn de sorte que
a 1 + a 2 + . . . + a r 1 −1 + a r 1 + a r 1 +1 + . . . + a i + a r k + a r k+1 + . . . + a rn Q n ,
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