Chapitre III. Séries de nombres réels
On choisit ν(u) tel que
lim
u→+∞
ν(u)f (2u) = l
(3)
(on peut prendre, par exemple, ν(u) = l
1
f (2u)
). On a alors lim
u→+∞
ν(u)
u = 0
car
l = lim
u→+∞
1
2
ν(u)
u
2uf (2u) et
lim
u→+∞
2uf (2u) = +∞.
Donc (2) implique lim
u→+∞
f (2u+2ν(u))
f (2u)
= 1. Les inégalités (1) et le théorème des
gendarmes donnent alors
lim
u→+∞
(f (2u + 1) + f (2u + 3) + . . . + f (2d − 1)) = l.
On a donc prouvé que lim
u→+∞
T 2u+ν(u) = S + l.
On note maintenant que si 2u + ν(u) < k < 2(u + 1) + ν(u + 1), alors
0 T k − T 2u+ν(u) + f (2u + 2) T 2u+2+ν(u+1) − T 2u+ν(u) + f (2u + 2).
Puisque lim
u→+∞
f (2u + 2) = 0 lorsque u → +∞, on voit que lim
k→+∞
T k = S + l.
Dans le cas où l < 0, on peut échanger le rôle de d et u et procéder de la
même façon.
III.7.10. Étant donné ε > 0, à partir d’une certaine valeur n 0 de l’indice n,
on a
g − ε
n
< f(n) <
g + ε
n
.
(1)
On considère la série réarrangée dont la n-ième somme partielle est (voir la
solution du problème III.7.9)
T n = T u+d = (f (1) − f (2) + f (3) − . . . − f (2u)) + (f (2u + 1)
+ f (2u + 3) + . . . + f (2d − 1)).
On suppose de plus que le nombre d de termes positifs est tel que lim
u→+∞
d
u = k.
On a alors, dans le cas où d > u,
1
2u + 1
+
1
2u + 3
+ . . . +
1
2d − 1
=
1 +
1
2
+ . . . +
1
2u + 1
+ . . . +
1
2d − 1
− ln(2d − 1)
−
1 +
1
2
+ . . . +
1
2u − 1
− ln(2u − 1)
−
1
2u
+
1
2u + 2
+ . . . +
1
2d − 2
− ln
2u − 1
2d − 1
.
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