Chapitre III. Séries de nombres réels
III.8.36.
(a) On a
1 −
1
p x
n
−1
= 1 +
+∞
k=1
1
p kx
n
.
En multipliant entre elles les N premières égalités, on obtient
N
n=1
1 −
1
p x
n
−1
= 1 +
+∞
k=1
1
k x =
p N
k=1
1
k x +
+∞
k=p N +1
1
k x ,
(∗)
où
représente la sommation sur les entiers dont la factorisation en
nombres premiers ne contient que les nombres premiers p 1 , p 2 , . . . , p N .
Donc,
0 <
N
n=1
1 −
1
p x
n
−1
−
p N
k=1
1
k x =
+∞
k=p N +1
1
k x <
+∞
k=p N +1
1
k x .
Puisque lim
N →+∞
+∞
k=p N +1
1
k x = 0, on obtient
+∞
n=1
1 −
1
p x
n
−1
=
+∞
n=1
1
n x .
(b) D’après (∗) dans la solution de la partie (a), on a
N
n=1
1 −
1
p n
−1
>
p N
k=1
1
k
.
La divergence de
+∞
n=1
1
n implique donc que
+∞
n=1
1 −
1
pn
diverge vers 0,
ce qui est équivalent à la divergence de la série
+∞
n=1
1
pn (voir III.8.4).
III.8.37. [18].
(a) La formule de Moivre, cos mt + i sin mt = (cos t + i sin t)
m donne, avec
m = 2n + 1,
sin(2n + 1)t = (2n + 1) cos
2n t sin t −
2n + 1
3
cos
2n−2 t sin
3 t
+ . . . + (−1)
n
sin
2n+1 t.
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