Solutions
I.1.21. On prouve d’abord que l’ensemble {n − mα : n, m ∈ N ∗ } est dense
dans R ∗
+ si α est un nombre irrationnel strictement positif. On considère pour
cela un intervalle ]a , b[ (0 < a < b) et on montre que cet intervalle contient
au moins un élément de notre ensemble. On pose ε = b − a > 0. D’après le
problème précédent, il existe une réduite R n telle que
0 < R n − α <
1
q 2
n
.
(1)
En effet, on considère un entier n impair et on observe que
(q n x n+1 + q n−1 )q n > q
2
n .
Puisque lim
n→+∞
q n = +∞, on a
1
qn < ε pour n suffisamment grand. Ceci et (1)
impliquent 0 < p n − αq n <
1
qn < ε pour n suffisamment grand. Il existe donc
n 0 ∈ N ∗ tel que n 0 (p n − αq n ) ∈ ]a , b[. Soit maintenant t ∈ [−1 , 1]. Il existe x
strictement positif tel que t = sin x. On déduit des considérations précédentes
qu’il existe des suites d’entiers strictement positifs {m n } et {k n } telles que
x = lim
n→+∞
(m n − 2πk n ). Par continuité de la fonction sinus, on a
t = sin x = sin
lim
n→+∞
(m n − 2πk n )
= lim
n→+∞
sin m n .
On a donc prouvé que tout élément de l’intervalle [−1 , 1] est une valeur d’adhérence de l’ensemble {sin n : n ∈ N ∗ }.
I.1.22. Soit p n et q n les entiers définis en I.1.20. Puisque x n+1 = a n+1 +
1
x n+2
> a n+1 , on obtient (q n x n+1 + q n−1 )q n > (q n a n+1 + q n−1 )q n = q n+1 q n .
Donc, d’après I.1.20,
|x − R n | <
1
q n q n+1
.
Puisque q n+1 = q n a n+1 + q n−1 > q n a n+1 > q n , l’inégalité demandée suit. On
prouve alors que la suite {q n } contient une infinité de nombres impairs. En
effet, il découle de I.1.19 que q n et q n+1 ne peuvent pas être tous les deux
pairs.
I.1.23. Il suffit d’appliquer la formule donnée en I.1.19.
I.1.24. On observe d’abord que la suite {q n } est strictement croissante et
q n n. De plus, d’après le problème I.1.20,
|x − R n | =
1
(q n x n+1 + q n−1 )q n
.
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I.1.21. On prouve d’abord que l’ensemble {n − mα : n, m ∈ N ∗ } est dense
dans R ∗
+ si α est un nombre irrationnel strictement positif. On considère pour
cela un intervalle ]a , b[ (0 < a < b) et on montre que cet intervalle contient
au moins un élément de notre ensemble. On pose ε = b − a > 0. D’après le
problème précédent, il existe une réduite R n telle que
0 < R n − α <
1
q 2
n
.
(1)
En effet, on considère un entier n impair et on observe que
(q n x n+1 + q n−1 )q n > q
2
n .
Puisque lim
n→+∞
q n = +∞, on a
1
qn < ε pour n suffisamment grand. Ceci et (1)
impliquent 0 < p n − αq n <
1
qn < ε pour n suffisamment grand. Il existe donc
n 0 ∈ N ∗ tel que n 0 (p n − αq n ) ∈ ]a , b[. Soit maintenant t ∈ [−1 , 1]. Il existe x
strictement positif tel que t = sin x. On déduit des considérations précédentes
qu’il existe des suites d’entiers strictement positifs {m n } et {k n } telles que
x = lim
n→+∞
(m n − 2πk n ). Par continuité de la fonction sinus, on a
t = sin x = sin
lim
n→+∞
(m n − 2πk n )
= lim
n→+∞
sin m n .
On a donc prouvé que tout élément de l’intervalle [−1 , 1] est une valeur d’adhérence de l’ensemble {sin n : n ∈ N ∗ }.
I.1.22. Soit p n et q n les entiers définis en I.1.20. Puisque x n+1 = a n+1 +
1
x n+2
> a n+1 , on obtient (q n x n+1 + q n−1 )q n > (q n a n+1 + q n−1 )q n = q n+1 q n .
Donc, d’après I.1.20,
|x − R n | <
1
q n q n+1
.
Puisque q n+1 = q n a n+1 + q n−1 > q n a n+1 > q n , l’inégalité demandée suit. On
prouve alors que la suite {q n } contient une infinité de nombres impairs. En
effet, il découle de I.1.19 que q n et q n+1 ne peuvent pas être tous les deux
pairs.
I.1.23. Il suffit d’appliquer la formule donnée en I.1.19.
I.1.24. On observe d’abord que la suite {q n } est strictement croissante et
q n n. De plus, d’après le problème I.1.20,
|x − R n | =
1
(q n x n+1 + q n−1 )q n
.
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