Chapitre I. Nombres réels
Ceci et l’inégalité x n+1 < a n+1 + 1 impliquent
|x − R n | >
1
(q n (a n+1 + 1) + q n−1 )q n
=
1
(q n+1 + q n )q n
.
Puisque a n+2 1, on a
|x − R n+1 | <
1
(q n+1 a n+2 + q n )q n+1
<
1
(q n+1 + q n )q n
.
Ces inégalités donnent le résultat demandé.
I.1.25. Soit
r
s tel que
x −
r
s
< |x − R n | < |x − R n−1 |. Puisque x se trouve
entre R n et R n−1 (voir le problème I.1.20),
r
s
− R n−1
< |R n−1 − R n | .
Donc, d’après le résultat de I.1.23,
|rq n−1 − sp n−1 |
sq n−1
<
1
q n−1 q n
.
De plus, on a
1
sq n−1
<
1
q n−1 qn car |rq n−1 − sp n−1 | 1. Donc, s > q n .
I.1.26. On obtient, en suivant l’algorithme donné en I.1.20,
a 0 =
√ 2
= 1, x 1 =
1
√ 2 − 1
=
√ 2 + 1.
Donc, a 1 = [x 1 ] = 2. De même,
x 2 =
1
√ 2 + 1
− 2
= x 1 et a 2 = a 1 = 2.
Par récurrence, on a
√ 2 = 1 +
1|
|2
+
1|
|2
+
1|
|2
+ . . .
De même,
√ 5 − 1
2
=
1|
|1
+
1|
|1
+
1|
|1
+ . . .
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