Chapitre I. Nombres réels
On remarque que si on remplace a m dans R m par a m +
1
a m+1
, on obtient alors
la réduite R m+1 . Donc,
R m+1 =
p m−1
a m +
1
a m+1
+ p m+2
q m−1
a m +
1
a m+1
+ q m+2
=
(p m−1 a m + p m−2 )a m+1 + p m−1
(q m−1 a m + q m−2 )a m+1 + q m−1
=
p m+1
q m+1
.
I.1.19. On pose
Δ k = p k−1 q k − q k−1 p k pour k = 1, 2, . . . , n.
On a alors, pour k > 1,
Δ k = p k−1 (q k−1 a k + q k−2 ) − q k−1 (p k−1 a k + p k−2 )
= −(p k−2 q k−1 − q k−2 p k−1 ) = −Δ k−1 .
Puisque Δ 1 = p 0 q 1 − q 0 p 1 = a 0 a 1 − (a 0 a 1 + 1) = −1, on obtient Δ k = (−1) k .
Ceci implique que p k et q k sont premiers entre eux (2) .
I.1.20. Comme dans la solution de I.1.18, on a, pour n > 1,
R n =
p n
q n
=
p n−1 a n + p n−2
q n−1 a n + q n−2
.
De même,
x =
p n x n+1 + p n−1
q n x n+1 + q n−1
pour n ∈ N
∗ .
Donc,
x − R n =
p n a n+1 + p n−1
q n a n+1 + q n−1
−
p n
q n
=
p n−1 q n − q n−1 p n
(q n x n+1 + q n−1 )q n
=
(−1) n
(q n x n+1 + q n−1 )q n
,
la dernière égalité se déduisant du résultat de I.1.19. D’où,
x − R n
> 0 pour n pair,
< 0 pour n impair.
Le nombre x se trouve donc toujours entre deux réduites successives.
(2) D’après le théorème de Bézout. (N.d.T.)
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