Solutions
I.1.15. On va montrer que tout intervalle ]p , q[ contient au moins un élément
de A. On pose 0 < ε = q − p. On déduit du problème précédent qu’il existe p n
et q n tels que
α −
p n
q n
<
1
q 2
n
.
Puisque α est irrationnel, lim
n→+∞
q n = +∞. Donc,
|q n α − p n | <
1
q n
< ε
pour presque tout n. On pose maintenant a = |q n α − p n |. Au moins un des réels
ma, m ∈ Z, appartient alors à l’intervalle ]p , q[, autrement dit, mq n α − mp n
ou −mq n α + mp n se trouve dans cet intervalle.
I.1.16. Soit t ∈ [−1 , 1]. Il existe un x tel que t = cos x. D’après le résultat
du problème précédent, il existe des suites d’entiers {m n } et {k n } telles que
x = lim
n→+∞
(k n 2π + m n ). Ceci et la continuité de la fonction cosinus impliquent
t = cos x = cos
lim
n→+∞
(k n 2π + m n )
= lim
n→+∞
cos m n = lim
n→+∞
cos |m n | .
Chaque élément de [−1 , 1] est donc une valeur d’adhérence de l’ensemble
{cos n : n ∈ N ∗ }. Le résultat demandé est ainsi prouvé.
I.1.17. Il est évident que s’il existe n tel que x n est un entier, alors x est rationnel. Supposons maintenant que x =
p
q avec p ∈ Z et q ∈ N ∗ . Si x − [x] = 0,
alors
p
q −
p
q
=
l
q , où l est un entier strictement positif plus petit que q.
Le dénominateur de x 1 =
q
l est donc plus petit que le dénominateur de x.
Ceci signifie que les dénominateurs de x 1 , x 2 , . . . forment une suite strictement
décroissante qui ne peut donc pas être infinie.
I.1.18. On procède par récurrence. On peut facilement vérifier que
R k =
p k
q k
pour k = 0, 1, 2.
Supposons que, pour m 2 choisi arbitrairement, on ait
R m =
p m
q m
=
p m−1 a m + p m−2
q m−1 a m + q m−2
.
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I.1.15. On va montrer que tout intervalle ]p , q[ contient au moins un élément
de A. On pose 0 < ε = q − p. On déduit du problème précédent qu’il existe p n
et q n tels que
α −
p n
q n
<
1
q 2
n
.
Puisque α est irrationnel, lim
n→+∞
q n = +∞. Donc,
|q n α − p n | <
1
q n
< ε
pour presque tout n. On pose maintenant a = |q n α − p n |. Au moins un des réels
ma, m ∈ Z, appartient alors à l’intervalle ]p , q[, autrement dit, mq n α − mp n
ou −mq n α + mp n se trouve dans cet intervalle.
I.1.16. Soit t ∈ [−1 , 1]. Il existe un x tel que t = cos x. D’après le résultat
du problème précédent, il existe des suites d’entiers {m n } et {k n } telles que
x = lim
n→+∞
(k n 2π + m n ). Ceci et la continuité de la fonction cosinus impliquent
t = cos x = cos
lim
n→+∞
(k n 2π + m n )
= lim
n→+∞
cos m n = lim
n→+∞
cos |m n | .
Chaque élément de [−1 , 1] est donc une valeur d’adhérence de l’ensemble
{cos n : n ∈ N ∗ }. Le résultat demandé est ainsi prouvé.
I.1.17. Il est évident que s’il existe n tel que x n est un entier, alors x est rationnel. Supposons maintenant que x =
p
q avec p ∈ Z et q ∈ N ∗ . Si x − [x] = 0,
alors
p
q −
p
q
=
l
q , où l est un entier strictement positif plus petit que q.
Le dénominateur de x 1 =
q
l est donc plus petit que le dénominateur de x.
Ceci signifie que les dénominateurs de x 1 , x 2 , . . . forment une suite strictement
décroissante qui ne peut donc pas être infinie.
I.1.18. On procède par récurrence. On peut facilement vérifier que
R k =
p k
q k
pour k = 0, 1, 2.
Supposons que, pour m 2 choisi arbitrairement, on ait
R m =
p m
q m
=
p m−1 a m + p m−2
q m−1 a m + q m−2
.
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