Solutions
On sait que
+∞
n=1
(−1)
n−1
n
= ln2 (voir III.1.32 (a)) et que la série
+∞
n=1
(−1)
n−1 2
n+1
1 +
1
2 +
1
3 + . . . +
1
n
converge (voir III.4.19). Donc, d’après
le problème précédent,
+∞
n=1
(−1)
n−1
2
n + 1
1 +
1
2
+
1
3
+ . . . +
1
n
= (ln 2)
2 .
III.6.9. Si
+∞
n=1
c n est le produit de Cauchy de la série
+∞
n=1
(−1)
n−1
√
n
par ellemême, alors
c n = (−1)
n−1
1
1 ×
√ n
+ . . . +
1
√
k ×
√
n − k + 1
+ . . . +
1
√ n × 1
.
Puisque chaque terme dans la parenthèse est plus grand que
1
n , on voit donc
que |c n | > 1 pour n > 1. Il s’ensuit que
+∞
n=1
c n est une série divergente.
III.6.10. On a
c n = a 0 b n + a 1 b n−1 + . . . + a n b 0 > a 0 b n
et, en conséquence, si la série
+∞
n=0
b n diverge, le produit de Cauchy
+∞
n=0
c n diverge alors aussi.
III.6.11. Non. On considère les deux séries divergentes suivantes :
1 −
+∞
n=1
3
2
n
et 1 +
+∞
n=1
3
2
n−1
2
n
+
1
2 n+1
.
On a alors
c n = a 0 b n + b 0 a n +
n−1
k=1
a k b n−k ,
où a 0 = b 0 = 1, a n = −
3
2
n et b n =
3
2
n−1 2 n +
1
2 n+1
. Donc,
c n =
3
2
n−1
2
n
+
1
2 n+1
−
3
2
n
−
3
2
n−1 n−1
k=1
2
n−k
+
1
2 n−k+1
=
3
4
n
.
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