Chapitre III. Séries de nombres réels
III.6.12. Soit A n , B n et C n les n-ièmes sommes partielles respectivement de
+∞
n=0
a n ,
+∞
n=0
b n et
+∞
n=0
c n . On a
C n = a 0 B n + a 1 B n−1 + . . . + a n B 0 .
Donc,
n
k=1
a k (b n + b n−1 + . . . + b n−k+1 )
= a 1 (B n − B n−1 ) + a 2 (B n − B n−2 ) + . . . + a n (B n − B 0 )
= B n (A n − a 0 ) − a 1 B n−1 − a 2 B n−2 − . . . − a n B 0
= B n A n − C n .
III.6.13. Soit
+∞
n=0
c n le produit de Cauchy des séries
+∞
n=0
(−1)
n a n et
+∞
n=0
(−1)
n b n . On a
c n = (−1)
n
(a 0 b n + a 1 b n−1 + . . . + a n b 0 ).
On suppose d’abord que la série
+∞
n=0
c n converge. On a alors lim
n→+∞
c n = 0. On
obtient, avec la monotonie des suites {a n } et {b n },
|c n | b n (a 0 + . . . + a n ) et |c n | a n (b 0 + . . . + b n ).
Donc,
lim
n→+∞
b n (a 0 + . . . + a n ) = 0 et
lim
n→+∞
a n (b 0 + . . . + b n ) = 0.
On suppose maintenant que les deux égalités sont vérifiées. D’après le problème
précédent, il suffit alors de montrer que
lim
n→+∞
n
k=1
(−1)
k a k
(−1)
n b n + (−1)
n−1 b n−1 + . . . + (−1)
n−k+1 b n−k+1
= 0.
On remarque que
(−1)
n b n + (−1)
n−1 b n−1 + . . . + (−1)
n−k+1 b n−k+1
b n−k+1
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