Chapitre III. Séries de nombres réels
En multipliant chaque membre de cette égalité par a(a + 2)(a + 4) · · · (a + 2n)
et en prenant a = 0, a = −2, . . ., a = −2k, . . ., a = −2n, on obtient
α 0 =
(2n − 1)!!
(2n)!!
α 1 =
−1(2n − 3)!!
−2(2n − 2)!!
. . .
α k =
(−2k + 1)(−2k + 3) · · · (−1) × 1 × 3 · · · (2(n − k) − 1)
−2k((−2k + 2) · · · (−2) × 2 × 4 · · · (2(n − k))
=
(2k − 1)!!(2(n − k) − 1)!!
(2k)!!(2(n − k))!!
α n =
(2n − 1)!!
(2n)!!
,
ce qui donne l’égalité désirée.
III.6.7. Soit A n , B n et C n les n-ièmes sommes partielles respectivement de
+∞
n=0
a n ,
+∞
n=0
b n et
+∞
n=0
c n . On vérifie facilement que
C n = a 0 B n + a 1 B n−1 + . . . + a n B 0 .
Donc,
C 0 + C 1 + . . . + C n = A 0 B n + A 1 B n−1 + . . . + A n B 0 .
En divisant chaque membre de cette égalité par n + 1 et en utilisant II.3.2 et
II.3.8, on obtient C = AB.
III.6.8. Soit
+∞
n=1
c n le produit de Cauchy de
+∞
n=1
(−1)
n−1
n
par elle-même. On a
c n = (−1)
n−1
1
1 × n
+
1
2(n − 1)
+ . . . +
1
k(n − k + 1)
+ . . . +
1
n × 1
.
Puisque
1
k(n − k + 1)
=
1
n + 1
1
k
+
1
n − k + 1
pour k = 1, 2, . . . , n,
on peut écrire
c n = (−1)
n−1
2
n + 1
1 +
1
2
+
1
3
+ . . . +
1
n
.
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