Solutions
Finalement, d’après III.6.2 (a),
+∞
n=0
(n + 1)x
2n
=
1
(1 − x 2 )
2 .
III.6.4. On observe que la série
+∞
n=0
A n x n est le produit de Cauchy de
+∞
n=0
x n
par
+∞
n=0
a n x n . Elle est donc convergente pour |x| < 1 et sa somme vaut
1
1−x
+∞
n=0
a n x n .
III.6.5. Il suffit d’identifier les coefficients de x n dans chaque membre de
l’égalité (1 + x)
n
(1 + x)
n
= (1 + x)
2n pour prouver l’égalité donnée en indication. D’où,
c n = (−1)
n x
2n 1
(n!)
2
n
k=0
n
k
2
= (−1)
n x
2n 1
(n!)
2
2n
n
.
III.6.6. On a la relation
c n =
1
a
(2n − 1)!!
(2n)!!
+
1
2(a + 2)
(2n − 3)!!
(2n − 2)!!
+ . . . +
1
a + 2n
(2n − 1)!!
(2n)!!
x
n ,
il suffit donc de prouver l’égalité
1
a
(2n − 1)!!
(2n)!!
+
1
2(a + 2)
(2n − 3)!!
(2n − 2)!!
+ . . . +
1
a + 2n
(2n − 1)!!
(2n)!!
=
(a + 1)(a + 3) · · · (a + (2n − 1))
a(a + 2)(a + 4) · · · (a + 2n)
.
Pour cela, on décompose le second membre en éléments simples :
(a + 1)(a + 3) · · · (a + (2n − 1))
a(a + 2)(a + 4) · · · (a + 2n)
=
α 0
a
+
α 1
a + 2
+ . . . +
α n
a + 2n
.
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