Chapitre III. Séries de nombres réels
(b) Le produit de Cauchy est la série
+∞
n=1
1
3 n+1
n
k=1
(−3)
k
k
.
D’après III.1.32 (a), sa somme vaut −
1
2 ln 2.
(c) On a
c 2n+1 = x
2n+1
2n+1
k=0
(−1)
k
(k + 1)(2n + 1 − k + 1)
= x
2n+1
n
k=0
(−1)
k
(k + 1)(2n + 1 − k + 1)
+
2n+1
k=n+1
(−1)
k
(k + 1)(2n + 1 − k + 1)
= x
2n+1
n
k=0
(−1)
k
(k + 1)(2n + 1 − k + 1)
−
n
k =0
(−1)
k (k
+ 1)(2n + 1 − k
+ 1)
= 0.
De plus, puisque c 2n+1 = 0, on obtient
c 2n = x
2n
2n
k=0
(−1)
2n−k
(k + 1)(2n − k + 1)
= x
2n
2n−1
k=0
(−1)
k
(k + 1)(2n − 1 − k + 1)
+
2n−1
k=0
(−1)
k
(k + 1) + (2n + 1)
= x
2n
(0 + (−n) + (2n + 1)) = (n + 1)x
2n .
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