Solutions
Il existe k, l ∈ N ∗ tels que si n k, alors |r n | <
ε
2M et si n l + 1, alors
|a l+1 | + . . . + |a n | <
ε
2m . On a donc, pour n l + k,
|a 0 r n + a 1 r n−1 + . . . + a n r 0 | (|a 0 | |r n | + . . . + |a l | |r n−l |)
+ (|a l+1 | |r n−l−1 | + . . . + |a n | |r 0 |)
< (|a 0 | + |a 1 | + . . . + |a l |)
ε
2M
+ (|a l+1 | + . . . + |a n |) m
< M
ε
2M
+
ε
2m
m = ε,
ce qui démontre (∗).
On remarque que l’analyse précédente implique que si les deux séries sont
absolument convergentes, alors leur produit de Cauchy l’est aussi.
III.6.2.
(a) Le théorème de Mertens implique que le produit de Cauchy de la série
+∞
n=0
x n par elle-même converge si |x| < 1. De plus,
c n = x
n
+ xx
n−1
+ . . . + x
n
= (n + 1)x
n .
Donc,
+∞
n=1
nx
n−1
=
1
1 − x
2
.
(b)
1
1−x ·
1
1−y .
(c) La série est le produit de Cauchy de
+∞
n=1
1
n(n+1) par
+∞
n=1
1
n! . La somme
de la première série est égale à 1 (voir III.1.4 (b)), celle de la seconde
est égale à e − 1 (voir II.5.6). Donc, d’après le théorème de Mertens, la
somme de la série considérée est égale à e − 1.
III.6.3.
(a) On a
c n =
n
k=0
2 k
k!
·
1
2 n−k (n − k)!
=
1
n!
n
k=0
n
k
2
k 1
2 n−k =
1
n!
2 +
1
2
n
.
D’après II.5.7, la somme du produit de Cauchy est égale à e
5
2 .
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