Chapitre III. Séries de nombres réels
Il découle de la définition de t m qu’à partir d’une certaine valeur de l’indice m,
la sous-série (∗) a t m − t m−1 termes de la forme
bm
F (m)−F (m−1) . On transforme
(∗) en regroupant ces termes pour obtenir la série
constante +
+∞
m=n 1
t m − t m−1
F (m) − F (m − 1)
b m .
D’après le test d’Abel, cette série converge car la suite formée des termes
c m =
t m − t m−1
F (m) − F (m − 1)
est décroissante. En effet,
c m >
(2m − 1) log l 2 − 1
2 m 2 − 2 (m−1)
2
et c m+1 <
(2m + 1) log l 2 + 1
2 (m+1)
2 − 2 m 2 .
On a donc, pour m suffisamment grand, c m+1 < c m car
lim
m→+∞
(2m + 1) log l 2 + 1
(2m − 1) log l 2 − 1
·
2 m 2 − 2 (m−1)
2
2 (m+1)
2 − 2 m 2 = 0.
III.6. Produit de Cauchy de séries
III.6.1. On suppose que
+∞
n=0
a n converge absolument. On note respectivement A n , B n et C n les n-ièmes sommes partielles de
+∞
n=0
a n ,
+∞
n=0
b n et
+∞
n=0
c n .
On a alors
C n = a 0 b 0 + (a 0 b 1 + a 1 b 0 ) + . . . + (a 0 b n + a 1 b n−1 + . . . + a n b 0 )
= a 0 B n + a 1 B n−1 + . . . + a n B 0 .
On pose
B = B n + r n où
lim
n→+∞
r n = 0.
On a alors
C n = BA n − (a 0 r n + a 1 r n−1 + . . . + a n r 0 ).
On montre maintenant que
lim
n→+∞
(a 0 r n + a 1 r n−1 + . . . + a n r 0 ) = 0.
(∗)
Soit ε > 0 et m, M tels que
|r n | m pour tout n 0,
M =
+∞
n=0
|a n | .
318