Solutions
Finalement, on considère le cas où x < 0, x /
∈ Z − . Soit k 0 ∈ N ∗ tel que 1+
x
k > 0
pour k k 0 . Pour montrer que la suite
n−1
k=k 0
1 +
1
k
x
1 +
x
k
converge, on note que
1 +
1
k
x
> 1 +
x
k
pour k k 0
et on procède comme dans le cas où x > 1.
III.5.16. Il découle immédiatement du test d’Abel que pour |x| < 1, la
convergence de
+∞
n=1
a n x n implique celle de
+∞
n=1
a n x 2n (voir III.5.13). Puisque
1
1−x 2n
est monotone et bornée, l’égalité
+∞
n=1
a n
x n
1 − x n =
+∞
n=1
a n x
n
1
1 − x 2n + a n x
2n
1
1 − x 2n
et le test d’Abel impliquent la convergence de
+∞
n=1
a n
x n
1−x n .
III.5.17. [20]. Non. Soit
+∞
n=1
b n une série semi-convergente. Soit F (x) = 2 x 2 .
On définit une nouvelle série
+∞
n=1
a n en posant
a 1 = a 2 =
b 1
2
, a k =
b m
F (m) − F (m − 1)
pour F (m − 1) < k F (m).
Cette série est aussi semi-convergente. On montre maintenant que toute soussérie de la forme
a k + a kl + a kl 2 + . . .
(∗)
converge. On note d’abord que pour tout m ∈ N ∗ , il existe un unique t m ,
t m =
log l
F (m)
k
, tel que
kl
tm
F (m) < kl
tm+1 .
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